题目

设p为常数，函数f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数．
（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范围；（3）求证：x•f（x）≤0．

提问时间：2020-10-12

答案

（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂[（1-x）（1+x）^p]，
∵f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数，
∴f（-x）=log₂[（1+x）（1-x）^p]=-f（x）=log2

1

(1-x)(1+x )p

=log₂[（1-x）^-1（1+x）^-p]，
∴

1+x=(1+x)-p (1-x)p=(1-x)-1

，
∴p=-1．
（2）∵p=-1，
∴f（x）=log2

1-x

1+x

，
∵f（x）＞2，
∴

1-x＞0 1+x＞0 1-x 1+x ＞4

，
解得-1＜x＜-

3

5

，
∴f（x）＞2时x的取值范围是（-1，-

3

5

）．
（3）∵f（x）=log2

1-x

1+x

，
∴

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1．
当-1＜x＜0时，

1-x

1+x

＞1，f（x）=log2

1-x

1+x

＞0，
∴x•f（x）＜0；
当x=0时，

1-x

1+x

=1，f（x）=log2

1-x

1+x

=0，
∴x•f（x）=0；
当0＜x＜1时，

1-x

1+x

＜1，f（x）=log2

1-x

1+x

＜0，
∴x•f（x）＜0．
综上所述，x•f（x）≤0．

（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂（1-x）（1+x）^p，由f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数，知f（-x）=log₂（1+x）（1-x）^p=-f（x）=log2

1

(1−x)(1+x )p

，由此能求出p的值．
（2）由p=-1，知f（x）=log2

1−x

1+x

，由f（x）＞2，

1−x＞0 1+x＞0 1−x 1+x ＞4

，由此能求出f（x）＞2时x的取值范围．
（3）由f（x）=log2

1−x

1+x

的定义域为{x|-1＜x＜1}，分-1＜x＜0，x=0和0＜x＜1三种情况进行讨论，证明x•f（x）≤0．

本题考点：对数函数的单调性与特殊点；函数奇偶性的性质；对数的运算性质．

考点点评：本题考查对数函数的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．