题目
如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,CD‖BA,点P是BC上一点,连结AP,过点P做PE⊥AP交C,探究PA与PE的数量关系.
PE⊥AP交CD于E
PE⊥AP交CD于E
提问时间:2020-10-12
答案
结论:PA=PE
证明:过点P作PM⊥AC,垂足为M,
过点P作PN⊥CD,垂足为N.
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠ACB(等边对等角)
∵CD‖BA(已知)
∴∠B=∠BCN(两直线平行,内错角相等)
∴∠ACB=∠BCN(等量代换)
又∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵在△ABC中,∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和180°)
且∠BAC=90°(已知),∠B=∠ACB(已证)
∴∠B=∠ACB=45°
又∵∠B=∠BCN(已证)
∴∠BCN=45°(等量代换)
∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴∠CMP=90°,∠CNP=90°(垂直定义)
∵△CMP中,∠CMP+∠ACB+∠MPC=180°(三角形内角和180°)
且∠CMP=90°,∠ACB=45°(已证)
∴∠MPC=180°-∠CMP-∠ACB
=180°-90°-45°
=45°
∵△CNP中,∠CNP+∠BCN+∠NPC=180°(三角形内角和180°)
且∠CNP=90°,∠ACN=45°(已证)
∴∠NPC=180°-∠CNP-∠ACN
=180°-90°-45°
=45°
∴∠MPC+∠NPC=45°+45°=90°
即∠MPN=90°
∵PE⊥AB(已知)
∴∠APE=90°(垂直定义)
∴∠MPN=∠APE
∴∠MPN-∠MPE=∠APE-∠MPE(等量减等量,差相等)
即∠APM=∠EPN
∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴∠AMP=∠ENP(垂直定义)
在△APM和△EPN中
∠APM=∠EPN(已证)
PM=PN(已证)
∠AMP=∠PNE(已证)
∴△APM≌△EPN(ASA)
∴AP=AE(全等三角形的对应边相等)
证明:过点P作PM⊥AC,垂足为M,
过点P作PN⊥CD,垂足为N.
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠ACB(等边对等角)
∵CD‖BA(已知)
∴∠B=∠BCN(两直线平行,内错角相等)
∴∠ACB=∠BCN(等量代换)
又∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵在△ABC中,∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和180°)
且∠BAC=90°(已知),∠B=∠ACB(已证)
∴∠B=∠ACB=45°
又∵∠B=∠BCN(已证)
∴∠BCN=45°(等量代换)
∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴∠CMP=90°,∠CNP=90°(垂直定义)
∵△CMP中,∠CMP+∠ACB+∠MPC=180°(三角形内角和180°)
且∠CMP=90°,∠ACB=45°(已证)
∴∠MPC=180°-∠CMP-∠ACB
=180°-90°-45°
=45°
∵△CNP中,∠CNP+∠BCN+∠NPC=180°(三角形内角和180°)
且∠CNP=90°,∠ACN=45°(已证)
∴∠NPC=180°-∠CNP-∠ACN
=180°-90°-45°
=45°
∴∠MPC+∠NPC=45°+45°=90°
即∠MPN=90°
∵PE⊥AB(已知)
∴∠APE=90°(垂直定义)
∴∠MPN=∠APE
∴∠MPN-∠MPE=∠APE-∠MPE(等量减等量,差相等)
即∠APM=∠EPN
∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴∠AMP=∠ENP(垂直定义)
在△APM和△EPN中
∠APM=∠EPN(已证)
PM=PN(已证)
∠AMP=∠PNE(已证)
∴△APM≌△EPN(ASA)
∴AP=AE(全等三角形的对应边相等)
举一反三
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