题目

已知曲线C的极坐标方程为：ρ2−2

2

ρcos(θ+

π

4

)-2=0
（I）若直线l过原点，且被曲线C截得弦长最小值；
（II）M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．

提问时间：2020-10-12

答案

（Ⅰ） 曲线C的极坐标方程ρ2-2

2

ρcos(θ+

π

4

)-2=0
即ρ²-2ρ（cosθ-sinθ）-2=0 
化为直角坐标方程为：x²+y²-2x+2y-2=0
即（x-1）²+（y+1）²=4
表示圆心C（1，-1），2为半径的圆．
当l与OC垂直时，被曲线C截得弦长最小；
 此时弦长=2

R2-OC2

=2

2

（Ⅱ）设

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

，θ为参数，
则x+y=2cosθ+2sinθ=2

2

sin（θ+

π

4

）≤2

2

x+y的最大值为2

2

．

（Ⅰ）  曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x-1）²+（y+1）²=4，当l与OC垂直时，被曲线C截得弦长最小，利用圆的几何性质求解．
（Ⅱ）设

x＝1+2cosθ y＝−1+2sinθ

，θ为参数，得出x+y=2cosθ+2sinθ，利用三角函数知识求最值．

本题考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质．

考点点评：本题考查曲线的极坐标方程，普通方程、参数方程的互化及应用，考查圆的几何性质、三角恒等变换能力．