题目

已知x=1是函数f（x）=（ax-2）e^x的一个极值点．（a∈R）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x₁，x₂∈[0，2]时，证明：f（x₁）-f（x₂）≤e．

提问时间：2020-10-12

答案

（Ⅰ）已知f′（x）=（ax+a-2）e^x，f'（1）=0，∴a=1．
当a=1时，f′（x）=（x-1）e^x，在x=1处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x-2）e^x，f′（x）=（x-1）e^x．
当x∈[0，1]时，f′（x）=（x-1）e^x≤0，∴f（x）在区间[0，1]单调递减；
当x∈（1，2]时，f′（x）=（x-1）e^x＞0，∴f（x）在区间（1，2]单调递增．
所以在区间[0，2]上，f（x）的最小值为f（1）=-e，又f（0）=-2，f（2）=0，
所以在区间[0，2]上，f（x）的最大值为f（2）=0．
对于x₁，x₂∈[0，2]，有f（x₁）-f（x₂）≤f_max（x）-f_min（x）．
所以f（x₁）-f（x₂）≤0-（-e）=e．

（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据在极值点处的导数等于0，建立等式关系，求出a即可；
（II）确定函数f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值，从而f（x₁）-f（x₂）≤f_max（x）-f_min（x），由此可得到结论．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题综合考查函数的极值以及利用导数研究函数的单调性，同时考查函数的最值的求解，是一道综合题．