题目

一个宇航员在宇宙中看到了地球25％的表面,问这个宇航员距离地球的距离.

提问时间：2020-10-11

答案

如图,浅蓝色部分为宇航员可看见的地表部分,这部分边缘所对应的宇航员视线应该与地表相切.设地球半径为R,宇航员到地心的距离为L,可见部分对应的半球心角为θ,显然cosθ=R/L.


即θ绕一周形成的角锥对应的立体角为π,如果你学过立体角,或者熟悉球面度规,就可以很容易算出θ的值.


也可以用积分求,建立球极坐标系,就取图中宇航员方向为z轴,张角为θ'（为了和θ区分,加撇）处可见部分的面积元（细圆带）为： 2π sinθ' R*R dθ‘,可见部分的面积就是对θ’进行积分（积分下限为0,上限为θ）,结果是2πR^2 (1-cosθ),该值应该等于1/4*4πR^2
得出cosθ=1/2=R/L,


所以L=2R,到地表的高度为1个地球半径