题目

求y=(x^2)ln(1+x)在x=0处的n阶导数 (n≥3)

提问时间：2020-10-11

答案

很简单,我不知道你学过莱布尼茨的n阶导数的知识,如果不是很了解可以查找相关文献,我这里假设你已经了解
已知y=(x^2)ln(1+x)
y1=x^2的导数y1'=2x,y1''=2,y1'''=0
y2=ln(1+x)的n阶导数为 y2^(n)=(-1)^(n-1)*[(n-1)!/(1+x)^n]
由于莱布尼茨导数公式这里我特别规定n是大于等于1的正整数,y^(n)表示n阶导数,其它类似
y^(n)=(y1*y2)^(n)=(x^2)[ln(1+x)]^(n)+n*(2x)[ln(1+x)]^(n-1)+[n(n-1)/2]*2*[ln(1+x)]^(n-2)
整理得到
y^(n)=(-1)^(n-1)*(n-3)!*{[(3n+1-n^2)x^2+2(4n-3n^2)x+4n(n-1)]/(1+x)^(n)}
这里n为大于等于1的正整数