题目

求通过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且距原点为1的直线方程．

提问时间：2020-10-11

答案

（解法一）由方程组

x+3y−10＝0 3x−y＝0

解得两条直线的交点为A（1，3）
当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为：y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0
由点到直线的距离公式可得

|k•0−0+3−k|

k2+1

=1，解得k=

4

3

，
即直线方程为：4x-3y+5=0，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1也符合题意，
故所求直线的方程为：4x-3y+5=0或x=1．
（解法二）：由直线系的知识可设所求直线的方程为：（x+3y-10）+λ（3x-y）=0，
即（1+3λ）x+（3-λ）y-10=0，则

|(1+3λ)•0+(3−λ)•0−10|

(1+3λ)2+(3−λ)2

＝1
解得λ=±3，故所求直线的方程为：4x-3y+5=0或x=1．

（解法一）由方程组

x+3y−10＝0 3x−y＝0

解得两条直线的交点为A（1，3），然后由点斜式写方程，通过点到直线的距离求斜率，但要考虑斜率不存在时是否合适；
（解法二）由直线系的知识可设所求直线的方程为：（x+3y-10）+λ（3x-y）=0，通过点到直线的距离求λ，即可得答案．

本题考点：点到直线的距离公式；直线的一般式方程．

考点点评：本题为直线方程的求解，设置未知量把问题转化为方程求解的问题来做是解决问题的关键，属基础题．