题目

已知：如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．

（1）BC与⊙O是否相切？请说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．

提问时间：2020-10-11

答案

（1）BC与⊙O相切；
理由：连接OD，BD；
∵DE切⊙O于D，AB为直径，
∴∠EDO=∠ADB=90°，
∵DE平分CB，
∴DE=

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BC=BE，
∴∠EDB=∠EBD；
∵∠ODB=∠OBD，∠ODB+∠EDB=90°，
∴∠OBD+∠DBE=90°，
即∠ABC=90°，
∴BC与⊙O相切；
（2）当△ABC为等腰直角三角形（∠ABC=90°）时，四边形OBED是平行四边形；
∵△ABC是等腰直角三角形（∠ABC=90°），
∴AB=BC，
∵BD⊥AC于D，
∴D为AC中点，
∴OD=

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BC=BE，OD∥BC，
∴四边形OBED是平行四边形．