题目
记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．
（1）判断函数f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）设函数f（x）=loga（1-ax），求f（x）的反函数f-1（x），并判断f（x）是否是M的元素；
（3）若f（x）≠x，写出f（x）∈M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．
（1）判断函数f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）设函数f（x）=loga（1-ax），求f（x）的反函数f-1（x），并判断f（x）是否是M的元素；
（3）若f（x）≠x，写出f（x）∈M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．
提问时间：2020-10-11
答案
（1）∵对任意x∈R，f（f（x））=-（-x+1）+1=x，
∴f（x）=-x+1∈M--（2分）
∵g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3不恒等于x，
∴g（x）∉M--------------（4分）
（2）设y=loga(1−ax)，
①a＞1时，由0＜1-ax＜1解得：x＜0，y＜0；
由y=loga(1−ax)，
解得其反函数为y=loga(1−ax)，（x＜0）------（6分）
②0＜a＜1时，由0＜1-ax＜1解得：x＞0，y＞0
解得函数y=loga(1−ax)的反函数为y=loga(1−ax)，（x＞0）-----------（8分）
∵f（f（x））=loga(1−aloga(1−ax))=loga(1−1+ax)=x
∴f（x）=loga(1−ax)∈M--------------------------------（11分）
（3）f（x）≠x，f（x）∈M的条件是：f（x）存在反函数f-1（x），且f-1（x）=f（x）---------------------（13分）
函数f（x）可以是：f（x）=
（ab≠0，ac≠-b2）；
f（x）=
（k≠0）；
f（x）=
∴f（x）=-x+1∈M--（2分）
∵g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3不恒等于x，
∴g（x）∉M--------------（4分）
（2）设y=loga(1−ax)，
①a＞1时，由0＜1-ax＜1解得：x＜0，y＜0；
由y=loga(1−ax)，
解得其反函数为y=loga(1−ax)，（x＜0）------（6分）
②0＜a＜1时，由0＜1-ax＜1解得：x＞0，y＞0
解得函数y=loga(1−ax)的反函数为y=loga(1−ax)，（x＞0）-----------（8分）
∵f（f（x））=loga(1−aloga(1−ax))=loga(1−1+ax)=x
∴f（x）=loga(1−ax)∈M--------------------------------（11分）
（3）f（x）≠x，f（x）∈M的条件是：f（x）存在反函数f-1（x），且f-1（x）=f（x）---------------------（13分）
函数f（x）可以是：f（x）=
| −bx+c |
| ax+b |
f（x）=
| k |
| x |
f（x）=
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程． 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好 奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看? 想找英语初三上学期的首字母填空练习…… 英语翻译 最新试题
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