题目

直线l：y=mx+1，双曲线C：3x²-y²=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．

提问时间：2020-10-11

答案

假设存在m值满足条件，
设A、B坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），
由

y＝mx+1 3x2−y2＝1

得：（3-m²）x²-2mx-2=0，
则3-m²≠0，且△=4m²-4（3-m²）（-2）＞0，得m²＜6且m²≠3①，
由韦达定理有：x1+x2＝

2m

3−m2

，x1x2＝

−2

3−m2

，
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即

OA

•

OB

＝0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（mx₁+1）（mx₂+1）=0，即（1+m²）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
所以（1+m²）•

−2

3−m2

+m•

2m

3−m2

+1=0，解得m=±1，
故存在m=1或m=-1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．

假设存在m值满足条件，设A、B坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），联立直线方程与双曲线方程，消掉y后得x的二次方程，有△＞0，由以AB为直径的圆过原点得OA⊥OB，即

OA

•

OB

＝0，从而可转化为关于A、B坐标的关系式，由直线方程可进一步化为x₁，x₂的式子，将韦达定理代入即可得m的方程，解出m后检验是否满足△＞0即可．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的一般方程．

考点点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆的性质，考查转化思想，解决本题的关键是正确理解“以AB为直径的圆过原点”并能合理转化．