题目

设A∪B∪C={1，2，3，4，5}，且A∩B={1，3}，符合此条件的（A、B、C）的种数______．

提问时间：2020-10-11

答案

A∩B={1，3}，A∪B∪C={1，2，3，4，5}，
A∪B包含着{1，3}．
下面分类讨论．
若除了元素1，3之外，A∪B还包含包含了k个元素，k=0，1，2，3．
表面上看起来分类讨论很麻烦，但实际上核心的东西就是两个事情：
1．先看这k个元素．
这k个元素是从剩下的{2，4，5}中选择出来的k个，C₃^k种．
每个这样的元素都是恰好属于A，B之一，2^k种．
所以，对于A，B而言，就有C₃^k×2^k种方法．
2．再考虑1，3以及那另外的k个元素是否在C中（其余的就不用考虑了，他们必然在C中），
显然有2^k+2种方式．
结合1，2，就知道这样的A，B，C的选法有n（k）=C₃^k•2^k•2^k+2种．
∴符合此条件的（A、B、C）的种数=4+C₃¹•2•2³+C₃²•2²•2⁴+2³•2⁵ 
=4+48+192+256=500．
故答案为：500．