题目

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R) (1)若曲线y=f(x)在x=1处切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值
(2)求证f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
(3)若a

提问时间：2020-10-11

答案

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)； (1)若曲线y=f(x)在x=1处切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值；
2)求证f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1；
(3)若a0；令f′(x)=1-(a/x)=(x-a)/x=0,得极小点x=a,故由minf(x)=
=f(a)=a-1-alna=a(1-lna)-1=0,得a=1；当a=1时minf(x)=f(1)=0；当x≠1时,f(x)=x-1-lnx>0；
故f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.
(3)f(x₁)-f(x₂)=（x₁-1-alnx₁)-(x₂-1-alnx₂)=(x₁-x₂)-a(lnx₁-lnx₂)=(x₁-x₂)-aln(x₁/x₂)
而4|(1/x₁)-(1/x₂)|=4︱(x₂-x₁)/x₁x₂︱
已知a