题目

...关于幂函数的概念理解.
唔.那个为什么是在（0,+无穷）都有定义,那定义域在（-无穷,0）时不也可以吗?为什么不是呢?

提问时间：2020-10-11

答案

对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号（x的p次方）,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,＋∞）.当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是（－∞,0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q不能是偶数；
排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数.
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数.