题目

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-10-11

答案

（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，
∴a＜0．…（6分）
（2）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x²-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为a≤

x2−1

|x−1|

，
令φ（x）=

x2−1

|x−1|

=

x+1，x＞1 −(x+1)，x＜1

因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，所以φ（x）＞-2，故此时a≤-2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2．…（12分）

（1）将方程变形，利用x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，从而可求实数a的取值范围；
（2）将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数a的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题；函数的零点．

考点点评：本题考查构成根的问题，考查分离参数法的运用，考查恒成立问题，正确变形是解题的关键．