题目

若曲线y=-根号1-x2与直线y=kx+1始终有一个交点,则实数k的取值范围为

提问时间：2020-10-11

答案

因为y=-√（1-x²）与直线y=kx+1始终有一个交点
所以由题意可知,方程-√（1-x²）=kx+1一定有解,且-1≤x≤1(保证根号内的数大于等于零),且-√（1-x²）=k+1≤0（即k≤-1）
平方得1-x²=k²x²+2kx+1
化简得（k²+1）x²+2kx=0
此后分情况考虑
首先考虑因为方程一定有解
所以判别式Δ=4k²≥0
k可取任意值都能符合此条件
再考虑-1≤x≤1
解（k²+1）x²+2kx=0得x1=0（符合-1≤x≤1）,x2=-2k/（k²+1）
所以-1≤-2k/（k²+1）≤1
k可取任意值都能符合此条件
所以综合全部情况得k≤-1（此结论第三行有得出过）