题目

求和：S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1．

提问时间：2020-10-10

答案

当x=0时，S_n=1；
当x=1时，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；
当x≠1，且x≠0时，S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1，①
xS_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ．②
（1-x）S_n=1+x+x²+x³+…+x^n-1-nxⁿ
=

1−xn

1−x

−nxn，
x=0时，上式也成立，
∴Sn＝

1−xn

(1−x)2

−

nxn

1−x

．x≠1．
∴S_n=

1，x＝0 n(n+1) 2 ，x＝1 1−xn (1−x)2 − nxn 1−x ，x≠0，x≠1

．

当x=0时，S_n=1；当x=1时，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；当x≠1时，S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1，利用错位相减求和法求解．

本题考点：数列的求和．

考点点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．