题目

函数f（x）=（a+1）lnx+ax*x+1,设a小于等于-2,证明任意x1,x2大于0,|f（x1)-f(x2)|大于等于4|x1-x2|

提问时间：2020-10-10

答案

f（x）=（a+1）lnx+ax^2+1
则f'（x）=（a+1）/x+2ax
由a<=-2,x>0得
（a+1）/x<0,2ax<0
则|f'（x）|=|（a+1）/x+2ax|=|（a+1）/x|+|2ax|>=2根号[（a+1）/x*2ax]=2根号[2（a+1）a]
而y=（a+1）a在a<=2时为减函数,ymin=(-2+1)(-2)=2
则|f'（x）|=2根号[2（a+1）a]>=2根号[2*2]=4
则有|f（x1)-f(x2)|>=4|x1-x2|成立