题目

复变函数问题(z-i)e^(-z)dz
上限为1下限为0的(z-i)e^(-z)dz,如何积分.

提问时间：2020-10-10

答案

是求∫{0,1} (z-i)e^(-z)dz
这样的话其实没有太多复变内容.
就按定积分的方法来做就行了.
∫{0,1} (z-i)e^(-z)dz = ∫{0,1} ze^(-z)dz-i·∫{0,1} e^(-z)dz
= -e^(-1)+∫{0,1} e^(-z)dz-i·∫{0,1} e^(-z)dz
= -1/e+(1-i)(1-1/e)
= 1-2/e-i(1-1/e).
如果硬要加入一点复变内容,可以说沿0到1的任意光滑曲线的积分都得上面的结果.
原因是被积函数在整个复平面上解析,由Cauchy定理保证积分与路径无关.