题目

对于任意实数x，函数f（x）=（5-a）x²-6x+a+5恒为正值，求a的取值范围．

提问时间：2020-10-10

答案

要使函数f（x）=（5-a）x²-6x+a+5恒为正值，
则等价为（5-a）x²-6x+a+5＞0恒成立，
若5-a=0，即a=5时，不等式等价为-6x+10＞0，此时不满足条件．
∴a≠5，
要使不等式（5-a）x²-6x+a+5＞0恒成立，
则

5−a＞0 △＝36−4(5−a)(a+5)＜0

，
解得-4＜a＜4，
∴a的取值范围是-4＜a＜4．

将函数f（x）=（5-a）x²-6x+a+5恒为正值转化为f（x）=（5-a）x²-6x+a+5＞0，利用不等式的性质解决即可．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键，注意对二次项系数进行分类讨论．