题目
一道有关中值定理的高数题求解答
f(x)在[a,b]上可导,f(a)=f(b)=1,求证:存在c,d∈(a,b),使得[e^(c-d)][f(d)+f'(d)]=1
f(x)在[a,b]上可导,f(a)=f(b)=1,求证:存在c,d∈(a,b),使得[e^(c-d)][f(d)+f'(d)]=1
提问时间:2020-10-10
答案
[e^xf(x)]'=e^x[f(x)+f'(x)],对e^xf(x)在区间[a,b]上用拉格朗日中值定理,存在d∈(a,b),使得
e^d[f(d)+f'(d)]=(e^bf(b)-e^af(a))/(b-a)
即e^d[f(d)+f'(d)]=(e^b-e^a)/(b-a) ①
再对e^x在区间[a,b]上用拉格朗日中值定理,存在c∈(a,b),使得
(e^b-e^a)/(b-a)=e^c ②
有①②得
e^d[f(d)+f'(d)]=e^c
即e^{d-c}[f(d)+f'(d)]=1
不知道是不是你打错了,我的是e^{d-c}而不是e^{c-d}
e^d[f(d)+f'(d)]=(e^bf(b)-e^af(a))/(b-a)
即e^d[f(d)+f'(d)]=(e^b-e^a)/(b-a) ①
再对e^x在区间[a,b]上用拉格朗日中值定理,存在c∈(a,b),使得
(e^b-e^a)/(b-a)=e^c ②
有①②得
e^d[f(d)+f'(d)]=e^c
即e^{d-c}[f(d)+f'(d)]=1
不知道是不是你打错了,我的是e^{d-c}而不是e^{c-d}
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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