题目

从1,2,3,…,2012,2013这些自然数中,最多可以取出()个数,使得其中每两个数的差不等于4.

提问时间：2020-10-10

答案

先将1,2,3,...,2012,2013分成4组:
A:1,5,9,13,...,2013共504个数,
B:2,6,10,14,...,2010共503个数,
C:3,7,11,15,...,2011共503个数,
D:4,8,12,16,...,2012共503个数.
A组中至多可以取出252个数,否则一定会取到相邻两项,二者的差为4.
类似的,B,C,D组都至多取出252个数.
因此总共最多取出4·252 = 1008个数.
给一种取法:
1,2,3,4,9,10,11,12,17,18,19,20,...,2010,2011,2012,2013.
易见共1008个数,且没有两个数差为4.