题目

已知函数y=（m²+4m-5）x²+4（1-m）x+3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是______．

提问时间：2020-10-10

答案

由题意，①m²+4m-5=0时，m=-5或m=1
其中m=1时，不等式是3＞0，符合对任意实数x，函数值恒大于零
②当m²+4m-5＞0，且△=16（m-1）²-12（m²+4m-5）＜0时，对任意实数x，函数值恒大于零
 即

m＜1或m＞−5 1＜m＜19

，
  所以1＜m＜19
综上，实数m的取值范围是{m|1≤m＜19}
故答案为：{m|1≤m＜19}

分类讨论，考虑二次项的系数为0与不为0．①二次项的系数为0时，m=1满足题意；②二次项的系数不为0时，m2+4m-5＞0，且△=16（m-1）2-12（m2+4m-5）＜0，解不等式即可得结论．

本题考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．

考点点评：本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论及利用二次函数的图象性质求解．