题目

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，且 f（2+x）=f（2-x），且f（x）＞0的解集为（-2，c）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式．
（Ⅱ）求f（x）在区间[m，m+1]的最大值记为h（m），并求h（m）的最大值．

提问时间：2020-10-10

答案

（本小题共12分）
（Ⅰ）∵f（2+x）=f（2-x），∴函数的对称轴为x=2，
∵二次函数f（x）=ax²+bx+c，
∴−

b

2a

＝2…①，
又f（x）＞0的解集为（-2，c）．
∴ax²+bx+c=0的两个根是-2，c；并且a＜0．
即4a-2b+c=0…②，ac²+bc+c=0…③，
解①②③，解得a=-

1

2

，b=2，c=6．
∴函数的解析式为：f(x)＝−

1

2

x2+2x+6．
（Ⅱ）f（x）在区间[m，m+1]的最大值记为h（m），
当m+1＜2即m＜1时，
f(x)＝−

1

2

x2+2x+6，在[m，m+1]上函数是增函数，
函数的最大值为f（m+1）=−

1

2

m2+m+

15

2

．
当m＞2时，
f(x)＝−

1

2

x2+2x+6，在[m，m+1]上函数是减函数，
函数的最大值为f(m)＝−

1

2

m2+2m+6．
当m≤2≤m+1即1≤m≤2时，
f(x)＝−

1

2

x2+2x+6，在[m，m+1]上函数的最大值为f（2）=8．
综上：h(m)＝

8，1≤m≤2 − 1 2 m2+2m+6，m＞2 − 1 2 m2+m+ 15 2 ，m＜1

，
函数h（m）的图象为：
所以函数h（m）的最大值为8．

（Ⅰ）利用f（2+x）=f（2-x），推出函数的对称轴，f（x）＞0的解集为（-2，c），判断a 的符号，推出方程组，求出a、b、c，即可求解f（x）的解析式．
（Ⅱ）求出f（x）在区间[m，m+1]的最大值记为h（m）的表达式，然后画出h（m）的图象即可求出它的最大值．

本题考点：A:二次函数在闭区间上的最值 B:函数解析式的求解及常用方法

考点点评：本题考查二次函数闭区间上的最大值的求法，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力．