题目

已知点P（-3，0），点Q在x轴上，点A在y轴上，且

PA

•

AQ

＝0，

QM

＝2

AQ

．当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．

提问时间：2020-10-10

答案

设Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲线上任意一点，则

PA

=(3，b)，

AQ

=(a，-b)，

QM

=(x-a，y)，（4分）
∴

PA

•

AQ

=3a-b2=0…①，（6分）
∵

QM

=2

AQ

，可得

x-a=2a y=-2b

∴

a= x 3 b=- y 2

…②（8分）
将②代入①，化简得y²=4x．    （10分）
所以动点M的轨迹方程为y²=4x．（12分）

设Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲线上任意一点，由

PA

•

AQ

＝0建立关系式得到3a²-b²=0．由等式

QM

＝2

AQ

解出a、b关于x、y的表达式，代入前一个式子化简即得动点M的轨迹方程．

本题考点：向量在几何中的应用．

考点点评：本题给出动点满足的条件，求动点轨迹方程．着重考查了向量的线性运算、向量的数量积和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．