题目

1的3次方加2的3次方3的3次方加4的3次方加5的3次方加到 2000的3次方

提问时间：2020-10-10

答案

公式1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
所以1^3+2^3+……+2000^3=[2000(2000+1)/2]^2=2001000^2=4004001000000
下面证明一下
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
……
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
加起来
(n+1)^4-1^4=4*(1^3+2^3+……+n^3)+6*(1^2+2^2+……+n^2)+4*(1+2+……+n)+1*n
因为1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+……+n=n(n+1)/2
带入
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+……+n^3)+6*n(n+1)(2n+1)/6+4*n(n+1)/2+n
所以
4*(1^3+2^3+……+n^3)=(n+1)^4-(n+1)+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)=n^2(n+1)^2
所以1^3+2^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2