题目
已知α+β=1,αβ=-1.设S1=α+β,S2=α2+β2,S3=α3+β3,…,Sn=αn+βn
(1)计算:S1=______,S2=______,S3=______,S4=______;
(2)试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系;
(3)根据以上得出结论计算:α7+β7.
(1)计算:S1=______,S2=______,S3=______,S4=______;
(2)试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系;
(3)根据以上得出结论计算:α7+β7.
提问时间:2020-10-10
答案
(1)∵α+β=1,αβ=-1.
∴S1=α+β=1.
S2=α2+β2=(α+β)2-2αβ=1+2=3.
S3=α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)2-3αβ=1+3=4.
S4=α4+β4=(α2+β2)2-2α2β2=9-2=7.
故答案为:1,3,4,7;
(2)由(1)得:Sn=Sn-1+Sn-2.
证明:∵α,β是方程x2-x-1=0的两根,
∴有:α2=α+1,β2=β+1,
Sn-1+Sn-2=αn-1+βn-1+αn-2+βn-2
=
+
+
+
=
+
=αn+βn
=Sn.
故Sn=Sn-1+Sn-2.
(3)由(2)有:
α7+β7=S7
=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4
=29.
∴S1=α+β=1.
S2=α2+β2=(α+β)2-2αβ=1+2=3.
S3=α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)2-3αβ=1+3=4.
S4=α4+β4=(α2+β2)2-2α2β2=9-2=7.
故答案为:1,3,4,7;
(2)由(1)得:Sn=Sn-1+Sn-2.
证明:∵α,β是方程x2-x-1=0的两根,
∴有:α2=α+1,β2=β+1,
Sn-1+Sn-2=αn-1+βn-1+αn-2+βn-2
=
αn |
α |
αn |
α2 |
βn |
β |
βn |
β2 |
=
αn(1+α) |
α2 |
βn(1+β) |
β2 |
=αn+βn
=Sn.
故Sn=Sn-1+Sn-2.
(3)由(2)有:
α7+β7=S7
=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4
=29.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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