题目

求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a＞0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围
第一个a是底数,
1）∪（1,4】 】表示闭区间

提问时间：2020-10-10

答案

因为 函数f(x)＝log(x+a/x-4) 的值域是 R,所以 函数 y＝x+a/x-4（x≠0) 的值域必须“包含”有 (0,+∞),也就是说(0,+∞)包含在“y＝x+a/x-4”的值域中就能满足题意,不一定恰好是(0,+∞).
设方程 x+a/x-4＝k (k＞0) 即 x^2 -(4+k)x + a＝0 --------------------（1）
由原题意,对任意 k＞0 ,关于“x”的二次方程(1) 都有解,
于是判别式 △＝g(k)＝(4+k)^2 - 4a＝k^2 + 8k + 16 - 4a ≥0 ---------（2）
进一步,当 k＞0 时,关于“k”的不等式（2）恒成立,所以
对关于“k”的二次函数 g(k)＝k^2 + 8k + 16 - 4a ,有 g(0)＝16 - 4a≥0 ,
[因为 g(k) 的对称轴是 k＝-4,作图可知：欲使 当 k＞0 时 （2）式恒成立,必须有 g(0)＝16 - 4a≥0 ]
解得 a≤4,
又因为 a＞0 且 a≠1,所以,a 的取值范围是 (0,1)∪(1,4] .