题目

如图,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AD=BC,延长AB到E,使BE=CD,连结CE.
（1）求证：CE=CA
（2）上述条件下,若AF⊥CE于点F,且AF平分∠DAE,CD/AE=2/5,求sin∠CAF的值.

提问时间：2020-10-10

答案

证明：（1）在等腰梯形ABCD中,AB平行CD,AD=BC,所以：∠DCB＝∠ADC ∠DAB＝∠CBA
因为AB‖CD,所以：∠DCB＋∠CBA＝180
又：∠CBE＋∠CBA＝180
故：∠CBE＝∠ADC 又AD=BC BE=CD 故△ADC≌△CBE 故：CE=CA
（2）延长AD、EC交于M,因为 AF平分角DAE AF⊥ME 故AM＝AE（等腰△三线合一） 即：∠E＝∠M
又AB‖CD,所以：∠E＝∠DCM＝∠M
故：DM＝DC
又：BC＝AD＝AM－DM＝AE－BE＝AE－CD＝AB
因为CE=CA ,所以：∠E＝∠CAE＝∠M
又：∠ACF＝∠M＋∠MAC＝∠CAE＋∠MAC＝∠DAB＝∠CBA
过C作CN⊥AB,N为垂足,故：∠CBA＋∠NCB＝90 令CD＝BE＝2a 因为：CD/AE=2/5 故：AE＝5a AB＝BC＝3a 故：BN＝1/2a
又：AF⊥ME 故：∠ACF＋∠CAF＝90
故：∠NCB＝∠CAF
故：sin∠CAF＝sin∠NCB=BN/BC=1/6