题目

已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，f（x）、g（x）都在R上，且f（x）+g（x）=a^x，（a＞0，a≠1），求证：f（2x）=2f（x）g（x）．

提问时间：2020-10-09

答案

∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，f（x）、g（x）都在R上，且f（x）+g（x）=a^x，①，
∴f（-x）+g（-x）=a^-x，
即-f（x）+g（x）=a^-x，②，
由①②解得f（x）=

ax−a−x

2

，g（x）=

ax+a−x

2

，
则2f（x）g（x）=2×

ax−a−x

2

×

ax+a−x

2

=

a2x−a−2x

2

=f（2x），
∴等式成立．