题目
∑为上半球面z=√(4-x^2-y^2)的上侧,则对坐标的曲面积分∫∫x^2dxdy,关于这题本人算到额答案是4π,
如果不是4π,那是多少,
如果不是4π,那是多少,
提问时间:2020-10-09
答案
被平面Σ1:z=0,x²+y²≤4,下侧
则Σ与Σ1构成封闭曲面,用高斯公式
∫∫(Σ+Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=∫∫∫ (y+0+0)dxdydz
被积函数只剩下y,由于区域关于xoz面对称,y是奇函数,所以结果为0
综上,上面积分为0.
下面将补的Σ1减出去即可:
∫∫(Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=-∫∫ y² dxdy
用极坐标
=-∫∫ r³sin²θ drdθ
=-∫[0→2π]sin²θdθ∫[0→2] r³ dr
=-(1/2)∫[0→2π] (1-cos2θ) dθ∫[0→2] r³ dr
=-π(1/4)r^4 |[0→2]
=-4π
因此原积分=0-(-4π)=4π
希望有帮助!呵呵!
则Σ与Σ1构成封闭曲面,用高斯公式
∫∫(Σ+Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=∫∫∫ (y+0+0)dxdydz
被积函数只剩下y,由于区域关于xoz面对称,y是奇函数,所以结果为0
综上,上面积分为0.
下面将补的Σ1减出去即可:
∫∫(Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=-∫∫ y² dxdy
用极坐标
=-∫∫ r³sin²θ drdθ
=-∫[0→2π]sin²θdθ∫[0→2] r³ dr
=-(1/2)∫[0→2π] (1-cos2θ) dθ∫[0→2] r³ dr
=-π(1/4)r^4 |[0→2]
=-4π
因此原积分=0-(-4π)=4π
希望有帮助!呵呵!
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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