题目

讨论级数∑[n=0到∞]sin(npai + 1/根号(n+1))的敛散性,说明是绝对收敛条件收...
讨论级数∑[n=0到∞]sin(npai + 1/根号(n+1))的敛散性,说明是绝对收敛条件收敛还是发散.

提问时间：2020-10-09

答案

通项sin(nπ + 1/√(n+1))＝(-1)^n×sin(1/√(n+1)).
通项加绝对值后的级数是∑sin(1/√(n+1)),在n→∞时,sin(1/√(n+1))等价于1/√(n+1),而级数∑(1/√(n+1))发散,所以∑sin(1/√(n+1))发散,即原级数不绝对收敛.
对于∑(-1)^n×sin(1/√(n+1)),因为{sin(1/√(n+1))}单调减少且在n→∞时sin(1/√(n+1))的极限是0,所以由莱布尼兹判别法,级数∑(-1)^n×sin(1/√(n+1))收敛.
综上,原级数条件收敛.