题目

数列 (13 15:20:39)
已知数列｛an｝中,a1=2,前n项和为Sn,对于任意n≥2的自然数,3Sn-4,an,2-3/2S(n-1)成等差数列
（1）求数列｛an｝的通项公式;
(2)若数列｛bn｝满足bn=3Sn,求数列｛bn｝前n项和Tn

提问时间：2020-10-09

答案

1、
n≥2时,3Sn－4,an,2－3/2×S(n-1)成等差数列,所以2an＝3Sn－4＋2－3/2×S(n-1).
又因为an＝Sn－S(n-1),所以2[Sn－S(n-1)]＝3Sn－3/2×S(n-1)－2.
所以,Sn＋1/2×S(n-1)＝2,即2Sn＋S(n-1)＝4.
因为
2Sn＋S(n-1)＝4
2S(n-1)+S(n-2)＝4
两式相减得：2an＋a(n-1)＝0,所以an＝－1/2×a(n-1),n≥2.
计算得a2＝1/2,所以,n≥2时,an＝1/2×(-1/2)^(n-2)
n＝1时,a1＝2.
2、
S1＝2,
n≥2时,
Sn
＝a1＋a2＋.＋an
＝2＋1/2＋1/2×(-1/2)＋.＋1/2×(-1/2)^(n-2)
＝2＋1/2×[1－(－1/2)^(n-1)]/(1＋1/2)
＝7/3－1/3×(－1/2)^(n-1)
所以,Sn＝7/3－1/3×(－1/2)^(n-1),（n＝1,2,...）
所以,bn＝3Sn＝7－(－1/2)^(n-1),所以,
Tn＝b1＋b2＋...＋bn＝7n－2/3×[1－(－1/2)^n]