题目

已知数列满足a(n+1)=1/(2-an),a1=a,(1)求a1,a2,a3,a4;(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明

提问时间：2020-10-09

答案

(1),a2=1/(2-a),a3=(2-a)/(3-2a),a4=(3-2a)/(4-3a)；
(2),猜想数列{an}的通项公式an=[(n-1)-(n-2)a]/[n-(n-1)a],(a≥2)；
设当n=k时通项公式成立,ak=[(k-1)-(k-2)a]/[k-(k-1)a],∵a(k+1)=1/(2-ak),
∴a(k+1)=1/{2-[(k-1)-(k-2)a]/[k-(k-1)a]}=[k-(k-1)a]/[2k-2(k-1)a-(k-1)+(k-2)a]=[k-(k-1)a]/[(k+1)-ak],当n=k+1时a(k+1)=[k-(k-1)a]/[(k+1)-ak]通项公式成立；则数列{an}的通项公式为：an=[(n-1)-(n-2)a]/[n-(n-1)a],(a≥2).