题目

已知x1、x2是关于x的方程x²-ax+a²-a+1/4=0的两个实数根,那么(x1x2)/(x1+x2)的最小值是

提问时间：2020-10-08

答案

由题意可知：Δ=(-a)²-4(a²-a+1/4)=4a-1≥0
即得：a≥1/4
由韦达定理有：x1+x2=a,x1*x2=a²-a+ 1/4
那么：(x1x2)/(x1+x2)
=(a²-a+ 1/4)/a
=a - 1 + 1/(4a)
=a+ 1/(4a) -1
由均值定理得：a+ 1/(4a)≥2根号[a*1/(4a)]=1 （当且仅当a=1/(4a)即a=1/2时取等号）
所以当a=1/2时,a+ 1/(4a)有最小值为1,此时对应(x1x2)/(x1+x2)的最小值为0.