题目

已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1-x²．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象．
（3）若函数f（x）在区间[a，a+1]上单调，直接写出实数a的取值范围．（不必写出演算过程）

提问时间：2020-10-08

答案

（1）1°因为函数是奇函数，所以x=0时，f（0）=0--------------（2分）
2°设x＜0，则-x＞0，根据当x＞0时，f（x）=1-x²，得f（-x）=1-（-x）²=1-x²
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=x²-1----------（4分）
综上：f(x)＝

1−x2，x＞0 0   ，x＝0 x2−1，x＜0

 −−−−−−−−−−−−5分
（2）当x＞0时，函数图象为开口向下抛物线的右侧，当x＜0时，函数图象为开口向上抛物线的左侧，
并且f（0）=0，由此可得函数图象如右图------------------（10分）
（3）根据（2）的函数图象，可得当[a，a+1]⊊（-∞，0）时，函数函数f（x）在区间[a，a+1]上是减函数；
当[a，a+1]⊊（0，+∞）时，函数f（x）在区间[a，a+1]上是增函数．
解之得：a＜-1或a＞0----------（15分）

（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，再设x＜0，根据函数的表达式结合函数为奇函数的性质得f（x）=-f（-x）=x²-1，最后综合可得函数f（x）的表达式；
（2）当x＞0时，函数图象为开口向下抛物线的右侧，当x＜0时，函数图象为开口向上抛物线的左侧，并且f（0）=0，由此可得函数图象如图；
（3）对照（2）的函数图象，可得当[a，a+1]⊂（-∞，0）时或当[a，a+1]⊂（0，+∞）时，函数f（x）在区间[a，a+1]上是单调函数，解之即得a的取值范围．

本题考点：函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题以二次函数和分段函数为例，着重考查了函数奇偶性的性质和奇偶性与单调性的综合等知识点，属于基础题．