题目

已知函数f（x）=3ax⁴-2（3a+1）x²+4x
（1）当a=

1

6

时，求f（x）的极值与相应的x的值；
（2）f（x）在（-1，1）上不是增函数，求a的取值范围．

提问时间：2020-10-08

答案

求导函数f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4
（1）当a=

1

6

时，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2）
令f′（x）=2（x-1）²（x+2）=0，∴x₁=1，x₂=-2
∵函数在（-∞，-2）上单调减，在（-2，1）上单调增，在（1，+∞）上单调增
∴函数的极值点是x=-2，f（x）的极值为-12；
（2）假设f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立
∴3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax²+3ax-1，则

a＞0 g(-1)≤0 g(1)≤0

或

a＜0 g(- 1 2 )≤0

或a=0
∴

a＞0 -1≤0 6a-1≤0

或

a＜0 - 3a 4 -1≤0

或a=0
∴-

4

3

≤a≤

1

6

∴f（x）在（-1，1）上不是增函数，a的取值范围为(-∞，-

4

3

)∪(

1

6

，+∞)

求导函数f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4
（1）当a=

1

6

时，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2），求得导数为0的方程的根，确定函数的单调性，进而可求函数的极值与极值点；
（2）考虑问题的反面，假设f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，从而3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立，求得a的反面，取其补集，可求a的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值与函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．