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题目
已知圆心在x轴上,半径是5且以A(5,4)为中点的弦长是2
5
,则这个圆的方程是(  )
A. (x-3)2+y2=25
B. (x-7)2+y2=25
C. (x±3)2+y2=25
D. (x-3)2+y2=25或(x-7)2+y2=25

提问时间:2020-10-08

答案
由圆心在x轴上,设圆心坐标为C(a,0),
又圆的半径r=5,弦BD长为2
5

由垂径定理得到AC垂直于弦BD,
∴|CA|2+(
5
2=52,又A(5,4),
∴(5-a)2+42+5=25,
解得:a=3或a=7,
则所求圆的方程为(x-3)2+y2=25或(x-7)2+y2=25.
故选D
由圆心在x轴上,设出圆心C坐标为(a,0),由A为弦BD的中点,根据垂径定理得到AC垂直于BD,利用两点间的距离公式求出|AC|的长,再由圆的半径r及弦长的一半,根据勾股定理列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出圆心的坐标,由圆心坐标及半径写出圆的标准方程即可.

直线与圆的位置关系;圆的标准方程.

此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,垂径定理,勾股定理,以及两点间的距离公式,当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点,然后由弦长的一半,圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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