题目

根据概率密度函数求解期望和方差
求E(X),D(X),设随机变量X的概率密度为f(x)=(1/2)*e^(-|x|),(-∞

提问时间：2020-10-08

答案

显然由公式可以知道
EX
=∫[-∞,+∞] x *f(x)dx
=∫[-∞,+∞] x/2 *e^(-|x|) dx
显然x/2 *e^(-|x|)是一个奇函数,
那么积分之后得到的就是一个偶函数,
代入对称的上下限+∞和-∞,当然得到的E(X)就是0
不会的话我给你做一下吧,
EX
=∫[-∞,+∞] x/2 *e^(-|x|) dx
=∫[-∞,0] x/2 *e^x dx + ∫[0,+∞] x/2 *e^(-x) dx
显然
∫x/2 *e^x dx
= x/2 *e^x - ∫ 1/2 *e^x dx
=x/2 *e^x - 1/2 *e^x 代入上下限0和-∞
= -1/2
而
∫x/2 *e^(-x) dx
= -x/2 *e^(-x) + ∫ 1/2 *e^(-x) dx
= -x/2 *e^(-x) - 1/2 *e^(-x) 代入上下限+∞和0
=1/2
所以相加得到EX=0
再由公式得到
EX²=∫[-∞,+∞]x² *(1/2)*e^(-|x|)dx
而x² *(1/2)*e^(-|x|)是一个偶函数,
那么积分之后得到的就是一个奇函数,
所以
EX²=2∫[0,+∞]x² *(1/2)*e^(-x)dx
=∫[0,+∞]x² *e^(-x)dx
而
∫ x² *e^(-x)dx
= -e^(-x) *x² + ∫e^(-x)dx²
= -e^(-x) *x² + ∫2x *e^(-x)dx
= -e^(-x) *x² - ∫ 2x *d[e^(-x)]
= -e^(-x) *x² - 2x *e^(-x) + ∫2e^(-x)dx
= -e^(-x) *x² - 2x *e^(-x) - 2e^(-x)
所以代入上下限得到
EX²=∫[0,+∞]x² *e^(-x)dx= 2
于是
DX=EX²-(EX)²=2
解得EX=0,DX=2
以后做题目的时候要记住,
看到积分区域是对称的时候,
一定要看一下积分函数的奇偶性,
对奇函数积分后得到的就是偶函数,
代入互为相反数的上下限结果一定为0