题目

问下,对多少个实数a,关于x的二次方程x^2+ax+6a=0只有整数根?

提问时间：2020-10-08

答案

x^2+ax+6a=0
我们令这个方程的两个根是m、n,且都是整数.
根据根与系数的关系,我们有：
(1)、m+n=-a
(2)、mn=6a
(2)+6*(1),有
mn+6(m+n)=0
mn+6m+6n+36=36
(m+6)(n+6)=36
因m、n是整数,所以m+6、n+6也是整数,两个整数的积是36,那它们必然都是36的约数
这样就有：
m+6,n+6,a=-(m+n)
±1,±36,12±37
±2,±18,12±20
±3,±12,12±15
±4,±9,12±13
±6,±6,12±12
因为m、n可互换,后面的不用考虑,且上面的数同时取正号或者负号.
这样会得到10组(m,n),对应会10个a的值,如上表.