题目

设函数y=f(x)的定义域为R,对于任意的x∈R,都有f(1+x)= — f(1-x) 求证：函数f(x)的图像关于点(1,0)对称
设函数y=f(x)的定义域为R,对于任意的x∈R,都有f(1+x)= — f(1-x)
求证：函数f(x)的图像关于点(1,0)对称

提问时间：2020-10-07

答案

令1+x=a,x=a-1
所以f(a)=-f(1-a+1)=-f(2-a)
f(x)=-f(2-x)
f(2-x)=-f(x)
所以在函数上取两点,横坐标分别是a和2-a
则纵坐标分别是f(a)和f(2-a)而f(2-a)=-f(a)
所以两点坐标是[a,f(a)],[2-a,-f(a)]
(a+2-a)/2=1,[f(a)-f(a)]/2=0
所以这两点的中点是(1,0)
所以他们关于(1,0)对称