题目

三角形ABC的定点在抛物线y^2=32x上,且点A的纵坐标为8,△ABC的中心恰是抛物线的焦点,求直线BC的方程

提问时间：2020-10-07

答案

说明：三角形的中心,三角形的定点是否指三角形的重心,顶点.下面按重心,顶点解题.
抛物线y^2=32x p=16 焦点坐标（8,0）准线x=--8 A点 8*8=32x x=2 A(2,8)
B(x1,y1) C(x2,y2) 设BC中点G（x1/2+x2/2 ,(y1+y2)/2）
重心：对照图示可求得重心的横坐标为：[2(x1+x2)/2--2]/3+2=(x1+x2+2)/3
纵坐标：8--(2/3)[8--(y1+y2)/2]=(8+y1+y2)/3
因为已知ABC的中心恰是抛物线的焦点,所以 8=(x1+x2+2)/3 0=(8+y1+y2)/3
x1+x2=22 y1+y2=--8
设BC直线方程为 y=kx+c 代入抛物线方程 y^2=32(y-c)/k y^2--32y/k+32c/k=0
y1+y2=32/k=-8 k=--4 x1+x2=[y1-c]/k+(y2-c)/k=(y1+y2--2c)/k=(-8-2c)/-4=22 c=40
直线BC的方程是 4x+y=40