题目

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=13，c=7，且4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

，
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的内切圆面积．

提问时间：2020-10-07

答案

（1）由4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

，
得4×

1-cos(A+B)

2

-cos2C=

7

2

，
即2+cosC-cos2C=

7

2

，
即4cos²C-4cosC+1=0，
解得cosC=

1

2

，即C=

π

3

．
（2）由C=

π

3

，a+b=13，c=7，
得49=a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=169-3ab，
即ab=40，解得a=5，b=8或a=8或b=5，
则三角形的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×5×8×

3

2

=10

3

，
则△ABC的内切圆的半径r=

2S

a+b+c

=

2×10 3

5+8+7

=

3

，
则△ABC的内切圆面积S=π•r²=3π

（1）根据二倍角公式进行化简，即可求角C的大小；
（2）求出△ABC的内切圆的半径即可求面积．

本题考点：A:余弦定理 B:二倍角的正弦 C:二倍角的余弦

考点点评：本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．