题目

圆周率为什么是无理数?

提问时间：2020-10-06

答案

假设∏是有理数,则∏=a/b,（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若000以上两式相乘得：
0当n充分大时,在[0,∏]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式,且各项的次数都不小于n,故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数,因此,F(x)和F(∏)也都是整数.
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],（此处上限为∏,下限为0）
=F(∏)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0,∏]区间上的积分为整数,这与（1）式矛盾.所以∏不是有理数,又它是实数,故∏是无理数.
终于解答完了,我这么累帮你解答,楼主是不是有奖励阿:)