题目

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,的左右焦点分别为f1,f2
过f1的直线分别交双曲线的两条渐近线于PQ,若P是线段f1Q的中点,且f1Q垂直f2P则此双曲线的离心率为

提问时间：2020-10-06

答案

由双曲线方程x^2/a^2－y^2/b^2＝1,得：双曲线的渐近线方程是：x/a＋y/b＝0、x/a－y/b＝0.
考虑到对称性,不失一般性地设点P、Q分别在渐近线x/a－y/b＝0、x/a＋y/b＝0上.
通过作图可知：P、Q都在x轴的下方,即：P、Q的纵坐标都小于0.
∵Q在渐近线x/a＋y/b＝0上,∴可令点Q的坐标为（at,－bt）.
显然,F1、F2的坐标分别是（－c,0）、（c,0）.
∴由中点坐标公式,得：P的坐标是（（at－c）/2,－bt/2）.
∵P在渐近线x/a－y/b＝0上,∴［（at－c）/2］/a－［－bt/2］/b＝0,
∴b（at－c）＋abt＝0,∴2at－c＝0,∴t＝c/（2a）＝e/2.
∵F2P⊥F1Q、F1P＝PQ,∴F2Q＝F1F2＝2c,∴F2Q^2＝4c^2,
∴（at－c）^2＋（bt）^2＝4c^2,∴（ae/2－ae）^2＋（be/2）^2＝4（ae）^2,
∴a^2/4＋b^2/4＝4a^2,∴a^2＋b^2＝16a^2,∴b^2＝15a^2,∴（b/a）^2＝15,
∴e＝c/a＝√［（a^2＋b^2）/a^2］＝√［1＋（b/a）^2］＝√（1＋15）＝4.
∴满足条件的双曲线的离心率为4.