题目

函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数,都有f(x+1)=f(x-1)成立,已知当x[1,2]时,f(x)=loga(x)
(1)求x属于[-1,1]时,函数f(x)的表达式
(2)求x属于[2k-1,2k+1](k属于Z)时函数f(x)的表达式
(3)若函数f(x)的最大值为1/2,在区间[-1,3]上,解关于x的不等式f(x)>1/4

提问时间：2020-10-05

答案

（1） 因为f(x)是定义在R上的偶函数,故f(x-1)=f(1-x)=f(x+1),所以f(x)关于x=1对称,又由上式得f(x)=f(2-x).因当x[1,2]时,f(x)=loga(x),则
f(2-x)=loga(2-x),因为2-x属于[1,2],则x属于[0,1].由f(x)=f(2-x)得
f(x)=loga(2-x）.又f(x)为偶,则f(x)=f(-x),故x[-1,1]上,f(x)=f(-x)=loga(2+x).分段表示之.
（2） 由（1）把定义域换成（2）,f(2-x)换成f(2k-x)则成.
（3） 画出草图.则可得f(2)=1/2.则a=4.
可分别在【-1,1】【1,2】【2,3】上求f(x)>1/4
是x范围.（根2-2,2-根2）,（根2,4-根2）