题目

离心率为e1的椭圆与离心率为e2的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点,短轴的端点,焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则(e1^2-1)/(e2^2-1)=

提问时间：2020-10-05

答案

设椭圆长半轴为a,则半焦距为c=e1*a,半短轴 b=a√(1-e1²)；
设双曲线实轴为m,则其半焦距c=e2*m,实半轴 n=m√(e2²-1),渐近线 my±nx=0；
端点(±a,0)、顶点(0,±b)、右点(±c,0)到渐近线的距离成等差数列,则：
(m*b)²/(m²+n²)=[|n*a|/√(m²+n²)]*[|n*c|/√(m²+n²)],
即 (m*b)²=(n*a)*(n*c) ；
因为 (m/n)²=1/(e2²-1),b²/(a*c)=a²(1-e1²)/(a²*e1)=(1-e1²)/e1,代入上式有：
(e1²-1)/(e2²-1) = -e1；