题目

已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数,对定义域内的任意x 1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),
且当x大于1时 f(x)大于0,f(2）=1,(1)求证f(x)是偶函数；（2）f（x）在（0,正无穷）上是增函数；（3）接不等式f(2x-1)小于2

提问时间：2020-10-04

答案

1.f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
f(x)=f(1*x)=f(x)+f(1) ∴f(1)=0
f(1)=f[(-1)(-x)]=f(-1)+f(-1) ∴f(-1)=0
f(x)=f[(-x)*(-1)]=f(-x)+f(-1)=f(-x)
∴f(x)是偶函数
2.设定义域（0,正无穷）内的任意x1,x2 x1>x2
可设x1=kx2 显然k>1
于是f(x1)=f(kx2)=f(k)+f(x2)
已知当x大于1时 f(x)大于0,所以f(k)>0
所以f(k)+f(x2)>f(x2)
即f(x1)>f(x2)
故f（x）在（0,正无穷）上是增函数
3.∵f(2)=1
∴f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2
由不等式f(2x-1)小于2
知f(2x-1)