题目

设函数f（x）=2㏑（x-1）-（x-1）² 若关于x的方程f（x）+x²-3x-a=0在区间[2
设函数f（x）=2㏑（x-1）-（x-1）²
若关于x的方程f（x）+x²-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根,求a取值范围.

提问时间：2020-10-04

答案

因为f（x）=2㏑（x-1）-（x-1）²,所以f（x）+x²-3x-a=0可以转化为2㏑（x-1）-（x-1）²+x²-3x-a=0.即2ln(x-1)-x-1=a 令F（x)=2ln(x-1)-x-1,对F（x)求导得F(x)'=2/(x-1)-1,从而可以知道F(x)在【2,3】上大于0【3,4】上小于0,即F(x)在【2,3】上单调递增,【3,4】上单调递减F(x)max=F(3)=2ln2-4 F(2)=2ln1-2-1=-3 F(4）=2ln3-5 因此F(x)min=F(2)=-3 所以a取值范围为[2ln3-5,2ln2-4)