题目

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x-1）为偶函数，集合A={x|f（x）=x}为单元素集合．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）-m]•e^x，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-10-03

答案

（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax²+bx，f（x-1）为偶函数，
∴f（x）的对称轴为x=-1，∴−

b

2a

＝−1
∵集合A={x|f（x）=x}为单元素集合
∴f（x）=x有两个相等的实数根
∴ax²+（b-1）x=0，∴b=1
∴

b＝1 − b 2a ＝−1

∴

b＝1 a＝ 1 2

∴f（x）的解析式为f（x）=

1

2

x²+x；
（Ⅱ）g（x）=（

1

2

x²+x-m）•e^x，
若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，则g′（x）≥0在x∈[-3，2]上恒成立
即（

1

2

x²+2x+1-m）•e^x≥0对x∈[-3，2]上恒成立
∴m≤（

1

2

x²+2x+1）_min（x∈[-3，2]）
∴m≤-1
若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递减，则g′（x）≤0在x∈[-3，2]上恒成立
即（

1

2

x²+2x+1-m）•e^x≤0对x∈[-3，2]上恒成立
∴m≥（

1

2

x²+2x+1）_max（x∈[-3，2]）
∴m≥7
∴实数m的取值范围为（-∞，-1]∪[7，+∞）．

（Ⅰ）根据二次函数f（x）=ax²+bx，f（x-1）为偶函数，集合A={x|f（x）=x}为单元素集合，可得f（x）的对称轴为x=-1，f（x）=x有两个相等的实数根，由此可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（x）=（

1

2

x²+x-m）•e^x，分类讨论：若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，则g′（x）≥0在x∈[-3，2]上恒成立；函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递减，则g′（x）≤0在x∈[-3，2]上恒成立，再分离参数即可求得实数m的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题主要考查二次函数、函数的单调性，考查利用函数单调性求参数取值范围的综合运用．