题目

已知函数f（x）=cos^2（x+12/π）,g(x)=1+sin2x/2
(1)设X=X0是函数y=f（x）图像的一条对称轴,求g（X0）的值
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调区间

提问时间：2020-10-03

答案

(1)由题设知：
f(x)＝cos²(x＋π/12)＝1/2[1＋cos(2x＋π/6)]
∵x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴
∴2x0＝kπ－π/6(k∈Z)
∴g(x0)＝1＋1/2sin2x0＝1＋1/2sin(kπ－π/6)
当k为偶数时,g(x0)＝1＋1/2sin(－π/6)＝1－1/4＝3/4
当k为奇数时,g(x0)＝1＋1/2sinπ/6＝1＋1/4＝5/4
(2)
h(x)＝f(x)＋g(x)＝1/2[1＋cos(2x＋π/6)]＋1＋1/2sin2x
＝1/2[cos(2x＋π/6)＋sin2x]＋3/2＝1/2(√3/2 cos2x＋1/2 sin2x)＋3/2
＝1/2sin(2x＋π/3)＋3/2
当2kπ－π/2≤2x＋π/3≤2kπ＋π/2
即：kπ－5π/12≤x≤kπ＋π/12(k∈Z)时,
函数h(x)＝1/2sin(2x＋π/3)＋3/2是增函数
当2kπ＋π/2≤2x＋π/3≤2kπ＋3π/2
即：kπ＋π/12≤x≤kπ＋7π/12(k∈Z)时,
函数h(x)＝1/2sin(2x＋π/3)＋3/2是减函数
故函数h(x)＝1/2sin(2x＋π/3)＋3/2的单调递增区间是：[kπ－5π/12,kπ＋π/12] (k∈Z)
函数h(x)＝1/2sin(2x＋π/3)＋3/2的单调递减区间是：[kπ＋π/12,kπ＋7π/12] (k∈Z)